一、曲线与方程
1．已知曲线C上点的坐标都是方程f（x，y）=0的解，则下列命题正确的是（ ）
A．坐标满足方程f（x，y）=0的点都在曲线C上
B．方程f（x，y）=0是曲线C的方程
C．曲线C是满足方程f（x，y）=0的曲线
D．方程f（x，y）=0的曲线包含曲线C上任意一点
2．已知坐标满足方程f（x，y）=0的点都在曲线C上，那么下列结论正确的是（ ）
A．曲线C上的点的坐标都适合方程f（x，y）=0
B．凡坐标不适合f（x，y）=0的点都不在曲线C上
C．不在曲线C上的点的坐标必不适合方程f（x，y）=0
D．不在曲线C上的点的坐标有的适合方程f（x，y）=0，有的不适合方程f（x，y）=0
3．等腰△ABC中，若底边两端点坐标分别是B（4，2），C（－2，0），则顶点A的轨迹方程是（ ）
A．x－3y+2=0（x≠1） B．3x―y―2=0（x≠1）
C．3x+y－4=0（x≠1） D．3x－y+1=0（x≠1）
4．方程(|y|-x
)(x--y2)=0的曲线是图21中的（ ）
5．曲线x+y-4ax+2ay-20+20a=0(a∈R)恒过定点，则定点的坐标为 ________________________________。
220γχ 6．由动点p向 + = 1 引两条切线PA、PB，切点为A，B， ∠APB=60 则22
p的轨迹方程___________________。
7．已知点A（－a，0），B（a，0）（a∈R），若动点C与点A、B构成直角三角形，试求直角顶点C的轨迹方程。
8．求由方程|2x+3|+|y－2|=3确定在多边形所围成的图形的面积S。
3y=x-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t，s单位长度 9．设曲线C的方程是
后得到曲线C1。
（1）写出的曲线C1方程；
tsA()
（2）证明曲线关于点22对称；
（3）如果曲线C1和C有且仅有一个公共点，证明：
参考答案
1．D （点评：曲线与方程的定义应包含两条：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都是曲线上的点，因给出了曲线上的点的坐标都是方程的解，故以方程的解为坐标的点必都在曲线上，于是对照定义知，答案应选D）
2．C （点评：本题与上题是曲线与方程的定义中所要求的两个要求的不同表现，对于本题，设方程f（x，y）=0所表示的曲线为E，依题意有曲线E为曲线C的一部分，故不在曲线C上的点的必不适合方程f（x，y）=0） s=13t-t4，且t≠0。3．C （点评：设A（x，y），显然A不能是BC的中点，故x≠1，而且|AB|=|AC|，从而，化简得3x+y－4=0，选C，另一思路为：A
的轨迹为线段BC的中垂线，从而由点斜式亦可得出点A的轨迹方程）
21-y≥0，得－1≤y≤1，故排除A与C，另一方面，由曲线方程 4．D （点评：由(x+2)2+y2=(x-4)2+(y-2)2
x=-y2
，得曲线中x≥0，从而曲线应在y轴的右侧，于是排除B）
22x+y-20+(-4x+2y+20)a=0，曲线 5．（4，－2）（点评：将曲线方程变形为
恒过定点，说明它与a的取值无关，从而含a的系数为0，即－4x+2y+20=0，于是余下的项
x2+y2-20=0，解这个联立方程组，即得定点的坐标）
6． X^2 + y^2 = 4
222222x+y=a(y≠0)|CA|+|CB|=|AB| 7．（点评：设C（x，y），则可由，得
到关于x与y的方程，也可由CA⊥CB，得到它们的斜率的积的关系，然后将C的坐标代
入，得到关于x与y的方程）
335 -，-1 -，为顶 8．9（点评：方程所表示的曲线是以（0，2），（－3，2），2，2
136=9点的菱形，其两条对角线分别为3和6，从而面积为2）
9．（1）y=(x-t)-(x-t)+s。（2）点评：在曲线C上任取一点B1(x1，y1)，它关3
tx1+x2sy1+y==B(x，y)2222，从而x1=t-x2，222于点A的对称点为，于是有，
y1=s-y2，将它们代入曲线C的方程得y2=(x2-t)3-(x2-t)+s，故B2(x2，y2)在
曲线C1上，同样可以证明，在曲线C1上的点关于A的对称点在曲线C上，因此，曲线C
与C1关于点A对称。（3）点评：因为曲线C1与C有且仅有一个公共点，故方程组
3y=x-x3y=(x-t)-(x-t)+s有且仅有一组解，两式消去y并整理得：
3tx2-3t2x+(t3-t-s)=0。该方程有关于x的一元二次方程（t≠0）有且仅有一个解，
43从而必有t≠0，且=9t-12t(t-t-s)=0，化简即得所证结论。
二、圆与方程
1.圆(x-2)+(y+3)=9的圆心坐标和半径分别是( ) 22
A.(2，-3)、3 B.(2，-3)、 C.(-2，3)、3 D.(-2，3)、
2.点P(m，5)与圆x2+y2=25的位置关系是( )
A.在圆外 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆上或圆外
3.已知圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称，则圆C的方程是( )
A.(x-1)2+y2=1 B.x2+y2=1 C.x2+(y+1)2=1
D.x2+(y-1)2=1
4.点(1，1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则a的取值范围是( )
A.-1＜a＜1 B.0＜a＜1 C.a＞1或a＞-1 D.a=±1
5.(2006重庆高考)以点(2，－1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为( )A.(x-2)2+(y+1)2=3 B.(x+2)2+(y-1)2=3
C.(x-2)2+(y+1)2=9 D.(x+2)2+(y-1)2=3
1. 答案：A
2. 分析：把点P(m，5)代入x2+y2=25，得m2≥0，所以在圆上或圆外。答案：D
3. 分析：圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称，其半径不变，只求出圆心即可，而关于直
线y=-x对称，则横、纵坐标交换位置，并取相反数，由圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1，0)，知对称的圆心为(0，-1). 答案：C
4. 分析：由于点(1，1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，所以(1-a)2+(1+a)2＜4，a2＜1.所以-1＜a＜1.
答案：A
5. 分析：r=|32-4(-1)+5|
+422=3.
答案：C
1.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是( )
22 B.-＜a＜0 33
2C.-2＜a＜0 D.-2＜a＜ 3A.a＜-2或a＞
2.过原点且在x，y轴上的截距分别为p，q(p，q均不为0)的圆的方程是( )
A.x2+y2-px-qy=0 B.x2+y2+px-qy=0
C.x2+y2-px+qy=0 D.x2+y2+px+qy=0
3.已知圆C的方程为f(x，y)=0，点A(x0，y0)是圆外的一点，那么方程f(x，y)-f(x0，y0)=0表示的曲线是( )
A.与圆C重合的圆 B.过点A(x0，y0)与圆C相交的圆
C.过点A(x0，y0)与圆C同心的圆 D.可能不是圆
1.分析：由二元二次方程表示圆的条件，有D2+E2-4F=a2+(2a)2-4(2a2+a-1)＞0.
解之，可得-2＜a＜
答案：D
2.分析：由题意知圆过原点，且在x，y轴上的截距分别为p、q，则圆的圆心坐标为(2. 3pq，)且22常数项为0.
答案：A
3.分析：设f(x，y)=x2+y2+Dx+Ey+F=0，则f(x0，y0)=x02+y02+Dx0+Ey0+F＞0，从而f(x，y)-f(x0，y0)=x2+
y2+Dx+Ey+F-x02-y02-Dx0-Ey0-F=0，过点A(x0，y0)与圆C同心.
答案：C
1.(2006北京高考)平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是( )
A.一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一支
2.(2006江苏高考)圆(x-1)2+(y+)2=1的切线方程中有一个是( )
A.x-y=0 B.x+y=0 C.x=0 D.y=0
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3.(2006江西高考)已知圆M：(x＋cosθ)2＋(y－sinθ)2=1，直线l：y=kx，下面四个命题：
A.对任意实数k与θ，直线l和圆M相切；
B.对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点；
C.对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切;
D.对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切.
其中真命题的代号是___________.(写出所有真命题的代号)
4.(2006上海高考)已知圆x2-4x-4+y2=0的圆心是点P，则点P到直线x-y-1=0的距离是___________.
5.(2006湖南高考)若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为2，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.［πππ5πππ，］ B.［，］ C.［，］ D.［0，124121263
π］ 2
1.答案：A
分析：圆心为(1，-)，半径为1，故此圆必与y轴(x=0)相切.
2.答案：C
点评：本题主要考查圆的定义及直线与圆的位置关系.
3.分析：圆心坐标为(－cosθ，sinθ)，d=
答案：BD
4.答案：|-kcosθ-sinθ|+k2=+k2sin(θ+)+k2=|sin(θ+φ)|≤1. 2 2
5.答案：B
1.设m＞0，则直线2(x+y)+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为( )
A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切
2.圆x2＋y2－4x+4y+6=0截直线x－y－5=0所得的弦长等于( ) A. B.52 C.1 D.5 2
3.(2004全国高考Ⅲ，4)圆x2+y2－4x=0在点P(1，3)处的切线方程为( ) A.x+y－2=0 B.x+3y－4=0
C.x－y+4=0 D.x－3y+2=0
答案：
1.分析：圆心到直线的距离为d=1+m，圆半径为m. 2
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2m2(m－2m+1)=2(m－1)≥0，
∴直线与圆的位置关系是相切或相离.
答案：C
2.分析：圆心到直线的距离为2
2，半径为2，弦长为2(2)2-(22
2)=.
答案：A
3.解法一：22
x+y-4x=0，
y=kx-k+3..解得x2-4x+(kx-k+)2=0.
该二次方程应有两相等实根，即Δ=0，解得k=3
3.
∴y－3=3(x－1)，即x－3y+2=0.
解法二：∵点(1，3)在圆x2+y2－4x=0上，
∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直.
又∵圆心为(2，0)，∴0-3
2-1·k=－1.
解得k=3，∴切线方程为x－3y+2=0.
答案：D
**圆与圆的位置关系
例1.已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0，圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0，判断两圆的位置关系. 例2.求过点A(0，6)且与圆C:x2+y2+10x+10y=0切于原点的圆的方程.
图1
解: 例1.
方法一:圆Cx2+y2+2x+8y-8=0，(1)
1与圆C2的方程联立得到方程组x2+y2-4x-4y-2=0.(2)
①-②得x+2y-1=0， ③
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，把上式代入①并整理得x-2x-3=0. ④ 2
方程④的判别式Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16＞0，所以方程④有两个不等的实数根，即圆C1与圆C2相交.
方法二:把圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0，圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0，化为标准方程，得(x+1)2+(y+4)2=25与(x-2)2+(y-2)2=10.
圆C1的圆心是点(-1，-4)，半径长r1=5;
圆C2的圆心是点(2，2)，半径长r2=.
22圆C1与圆C2的连心线的长为-1-2)+(-4-2)=35，圆C1与圆C2的半径长之和为
r1+r2=5+，
半径长之差为r1-r2=5-.
而5-＜35＜5+，即r1-r2＜3＜r1+r2，
所以圆C1与圆C2相交，它们有两个公共点A、B.
例2.将圆C化为标准方程，得(x+5)2+(y+5)2=50，
则圆心为C(-5，-5)，半径为52.所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.
设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
由题意，知O(0，0)，A(0，6)在此圆上，且圆心M(a，b)在直线x-y=0上，则有
(0-a)2+(0-b)2=r2，a=3，222解得(0-a)+(6-b)=r，b=3， a-b=0，r=32.
于是所求圆的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.
**应用
1.过点P(6，－2)且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线的方程是…( )
A.2x+3y-6=0 B.2x+3y-6=0或3x+4y-12=0
C.x-y+3=0 D.x+2y-2=0或2x+3y-6=0
2.把直线y=x绕原点按逆时针方向旋转，使它与圆x2+y2+2x-2y+3=0相切，则直线旋转3
的最小正角是( ) A.ππ2π5π B. C. D. 3632
3.设A、B两点的坐标分别为A(-2，0)、B(2，0)，条件甲：A、B、C三点构成以C为直角顶点的三角形；条件乙：点C的坐标是方程x2+y2=2的解.则甲是乙的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
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C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4.已知点M(a，b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2内一点，直线g是以M为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax+by+r2=0，则( )
A.l∥g，且与圆相离 B.l⊥g，且与圆相切
C.l∥g，且与圆相交 D.l⊥g，且与圆相离
答案：DBAA
