[新知初探]
平面向量共线的坐标表示
前提条件a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
结论当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a、b(b≠0)共线
[点睛](1)平面向量共线的坐标表示还可以写成x1x2＝y1y2(x2≠0，y2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例；
(2)当a≠0，b＝0时，a∥b，此时x1y2－x2y1＝0也成立，即对任意向量a，b都有：x1y2－x2y1＝0a∥b.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则必有x1y2＝x2y1.()
(2)向量(2，3)与向量(－4，－6)反向．()
答案：(1)√(2)√
2．若向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，则与a＋b共线的向量可以是()
A．(2，1)B．(－1，2)C．(6，10)D．(－6，10)
答案：C
3．已知a＝(1，2)，b＝(x，4)，若a∥b，则x等于()
A．－12B.12C．－2D．2
答案：D
4．已知向量a＝(－2，3)，b∥a，向量b的起点为A(1，2)，终点B在x轴上，则点B的坐标为________．
答案：73，0
向量共线的判定
[典例](1)已知向量a＝(1，2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于()
A.12B.13C．1D．2
(2)已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
[解析](1)法一：a＋2b＝(1，2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1，2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12.
法二：假设a，b不共线，则由(a＋2b)∥(2a－2b)可得a＋2b＝μ(2a－2b)，从而1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a＋2b与2a－2b不共线，这与(a＋2b)∥(2a－2b)矛盾，从而假设不成立，故应有a，b共线，所以1λ＝21，即λ＝12.
[答案]A
(2)[解]＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)，＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)，
∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴，共线．
又＝－2，∴，方向相反．
综上，与共线且方向相反．
向量共线的判定方法
(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．
[活学活用]
已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行，平行时它们的方向相同还是相反？
解：ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，
若ka＋b与a－3b平行，则－4(k－3)－10(2k＋2)＝0，
解得k＝－13，此时ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)，故ka＋b与a－3b反向．
∴k＝－13时，ka＋b与a－3b平行且方向相反．
三点共线问题
[典例](1)已知＝(3，4)，＝(7，12)，＝(9，16)，求证：A，B，C三点共线；
(2)设向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点
共线？
[解](1)证明：∵＝－＝(4，8)，
＝－＝(6，12)，
∴＝32，即与共线．
又∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线．
(2)若A，B，C三点共线，则，共线，
∵＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(10－k，k－12)，
∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0.
解得k＝－2或k＝11.
有关三点共线问题的解题策略
(1)要判断A，B，C三点是否共线，一般是看与，或与，或与是否共线，若共线，则A，B，C三点共线；
(2)使用A，B，C三点共线这一条件建立方程求参数时，利用＝λ，或＝λ，或＝λ都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式．
[活学活用]
设点A(x，1)，B(2x，2)，C(1，2x)，D(5，3x)，当x为何值时，与共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？
解：＝(2x，2)－(x，1)＝(x，1)，
＝(1，2x)－(2x，2)＝(1－2x，2x－2)，
＝(5，3x)－(1，2x)＝(4，x)．
由与共线，所以x2＝1×4，所以x＝±2.
又与方向相同，所以x＝2.
此时，＝(2，1)，＝(－3，2)，
而2×2≠－3×1，所以与不共线，
所以A，B，C三点不在同一条直线上．
所以A，B，C，D不在同一条直线上．
向量共线在几何中的应用
题点一：两直线平行判断
1.如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC；
证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，
设||＝1，则||＝1，||＝2.
∵CE⊥AB，而AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形，
∴可求得各点坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)．
∵＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)，
＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，
∴＝，∴∥，即DE∥BC.
题点二：几何形状的判断
2．已知直角坐标平面上四点A(1，0)，B(4，3)，C(2，4)，D(0，2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．
证明：由已知得，＝(4，3)－(1，0)＝(3，3)，
＝(0，2)－(2，4)＝(－2，－2)．
∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴与共线．
＝(－1，2)，＝(2，4)－(4，3)＝(－2，1)，
∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴与不共线．
∴四边形ABCD是梯形．
∵＝(－2，1)，＝(－1，2)，
∴||＝5＝||，即BC＝AD.
故四边形ABCD是等腰梯形．
题点三：求交点坐标
3.如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB交点P的坐标．
解：法一：设＝t＝t(4，4)
＝(4t，4t)，
则＝－＝(4t，4t)－(4，0)＝(4t－4，4t)，
＝－＝(2，6)－(4，0)＝(－2，6)．
由，共线的条件知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，
解得t＝34.∴＝(3，3)．
∴P点坐标为(3，3)．
法二：设P(x，y)，
则＝(x，y)，＝(4，4)．
∵，共线，
∴4x－4y＝0.①
又＝(x－2，y－6)，＝(2，－6)，
且向量，共线，
∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.②
解①②组成的方程组，得x＝3，y＝3，
∴点P的坐标为(3，3)．
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
层级一学业水平达标
1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝12，－34
解析：选BA中向量e1为零向量，∴e1∥e2；C中e1＝12e2，∴e1∥e2；D中e1＝4e2，∴e1∥e2，故选B.
2．已知点A(1，1)，B(4，2)和向量a＝(2，λ)，若a∥，则实数λ的值为()
A．－23B.32
C.23D．－32
解析：选C根据A，B两点的坐标，可得＝(3，1)，
∵a∥，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故选C.
3．已知A(2，－1)，B(3，1)，则与平行且方向相反的向量a是()
A．(2，1)B．(－6，－3)
C．(－1，2)D．(－4，－8)
解析：选D＝(1，2)，向量(2，1)、(－6，－3)、(－1，2)与(1，2)不平行；(－4，－8)与(1，2)平行且方向相反．
4．已知向量a＝(x，2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为()
A．－3B．2
C．4D．－6
解析：选D因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3，1)，a－2b＝(x－6，4)，所以4(x＋3)－(x－6)＝0，解得x＝－6.
5．设a＝32，tanα，b＝cosα，13，且a∥b，则锐角α为()
A．30°B．60°
C．45°D．75°
解析：选A∵a∥b，
∴32×13－tanαcosα＝0，
即sinα＝12，α＝30°.
6．已知向量a＝(3x－1，4)与b＝(1，2)共线，则实数x的值为________．
解析：∵向量a＝(3x－1，4)与b＝(1，2)共线，
∴2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案：1
7．已知A(－1，4)，B(x，－2)，若C(3，3)在直线AB上，则x＝________.
解析：＝(x＋1，－6)，＝(4，－1)，
∵∥，∴－(x＋1)＋24＝0，∴x＝23.
答案：23
8．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，3)，若λa＋μb与a＋b共线，则λ与μ的关系是________．
解析：∵a＝(1，2)，b＝(－2，3)，
∴a＋b＝(1，2)＋(－2，3)＝(－1，5)，
λa＋μb＝λ(1，2)＋μ(－2，3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)，
又∵(λa＋μb)∥(a＋b)，
∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0，
∴λ＝μ.
答案：λ＝μ
9．已知A，B，C三点的坐标为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且＝13，＝13，求证：∥.
证明：设E，F的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
依题意有＝(2，2)，＝(－2，3)，＝(4，－1)．
∵＝13，∴(x1＋1，y1)＝13(2，2)．
∴点E的坐标为－13，23.
同理点F的坐标为73，0，＝83，－23.
又83×(－1)－4×－23＝0，∴∥.
10．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，1)，c＝(5，2)，m＝λb＋c(λ为常数)．
(1)求a＋b；
(2)若a与m平行，求实数λ的值．
解：(1)因为a＝(2，1)，b＝(1，1)，
所以a＋b＝(2，1)＋(1，1)＝(3，2)．
(2)因为b＝(1，1)，c＝(5，2)，
所以m＝λb＋c＝λ(1，1)＋(5，2)＝(λ＋5，λ＋2)．
又因为a＝(2，1)，且a与m平行，
所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.
层级二应试能力达标
1．已知平面向量a＝(x，1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b()
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
解析：选C因为a＋b＝(0，1＋x2)，所以a＋b平行于y轴．
2．若A(3，－6)，B(－5，2)，C(6，y)三点共线，则y＝()
A．13B．－13
C．9D．－9
解析：选DA，B，C三点共线，
∴∥，而＝(－8，8)，＝(3，y＋6)，
∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.
3．已知向量a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
解析：选D∵a＝(1，0)，b＝(0，1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1，1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1，1)，d＝a－b＝－(－1，1)，即c∥d且c与d反向．
4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是()
A．(1，5)或(5，5)
B．(1，5)或(－3，－5)
C．(5，－5)或(－3，－5)
D．(1，5)或(5，－5)或(－3，－5)
解析：选D设A(－1，0)，B(3，0)，C(1，－5)，第四个顶点为D，
①若这个平行四边形为ABCD，
则＝，∴D(－3，－5)；
②若这个平行四边形为ACDB，
则＝，∴D(5，－5)；
③若这个平行四边形为ACBD，
则＝，∴D(1，5)．
综上所述，D点坐标为(1，5)或(5，－5)或(－3，－5)．
5．已知＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，则x＋2y的值为________．
解析：∵＝＋＋＝(6，1)＋(x，y)＋(－2，－3)
＝(x＋4，y－2)，
∴＝－＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．
∵∥，
∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.
答案：0
6．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．
解析：若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线．
∵＝－＝(3，1)，＝－＝(2－m，1－m)，
∴3(1－m)≠2－m，即m≠12.
答案：m≠12
7．已知A(1，1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a与b之间的数量关系；
(2)若＝2，求点C的坐标．
解：(1)若A，B，C三点共线，则与共线．
＝(3，－1)－(1，1)＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，
∴2(b－1)－(－2)(a－1)＝0，∴a＋b＝2.
(2)若＝2，则(a－1，b－1)＝(4，－4)，
∴a－1＝4，b－1＝－4，∴a＝5，b＝－3，
∴点C的坐标为(5，－3)．
8.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，求直线AC与BD交点P的坐标．
解：设P(x，y)，则＝(x－1，y)，
＝(5，4)，＝(－3，6)，＝(4，0)．
由B，P，D三点共线可得＝＝(5λ，4λ)．
又∵＝－＝(5λ－4，4λ)，
由于与共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.
解得λ＝47，
∴＝47＝207，167，
∴P的坐标为277，167.
