一、选择题( 共 12 题 ，共 48 分)
1.如图 所示，在河岸 ac 一侧测量河的宽度，测量以下四组数据，较适宜的是( )．
a． c ， α ， γ b． c ， b ， α
c． c ， a ， β d． b ， α ， γ
2.从 a 处望 b 处的仰角为 α ，从 b 处望 a 处的俯角为 β ，则 α ， β 的关系是( )．
a． α ＞ β b． α ＝ β
c． α + β ＝90° d． α + β ＝180°
3.如图，已知两座灯塔 a 和 b 与海洋观测站 c 的距离都等于 a km，灯塔 a 在观测站 c 的北偏东20°，灯塔 b 在观测站 c 的南偏东40°，则灯塔 a 与灯塔 b 的距离为( )．
a． a km b． km c． km d．2 a km
4.在高20 m的楼顶测得对面一塔顶的仰角 为60°，塔基的俯角为45°，则这座塔的高度为( )．
a． m b． m
c． m d． m
5.在△ abc 中，若sin a ∶sin b ＝2∶5，则边 b ∶ a 等于( )．
a．2∶5或4∶25 b．5∶2 c．25∶4 d．2∶5
6.在△ abc 中，sin 2 a －sin 2 c +sin 2 b ＝sin a sin b ，则∠ c 为( )．
a．60° b．45° c．120° d．30°
7.在△ abc 中，已知 a ＝4， b ＝6，∠ c ＝120°，则sin a 的值为( )．
a． b． c． d．
8.△ abc 的三个内角∠ a ，∠ b ，∠ c 所对的边分别为 a ， b ， c ， a sin a sin b + b cos 2 a ＝ ，则 ＝( )．
a． b． c． d．
9.根据下列条件，确定△ abc 有两解的是( )．
a． a ＝18， b ＝20，∠ a ＝120°
b． a ＝60， c ＝48，∠ b ＝60°
c． a ＝3， b ＝6，∠ a ＝30°
d． a ＝14， b ＝16，∠ a ＝45°
10.在△ abc 中，∠ a ∶∠ b ∶∠ c ＝1∶2∶3，那么三边之比 a ∶ b ∶ c 等于( )．
a．1∶2∶3 b．3∶2∶1
c．1∶ ∶2 d．2∶ ∶1
11.在△ abc 中， a ＝2，∠ a ＝30°，∠ c ＝45°，则 s △ abc ＝( )．
a． b． c． d．
12.在△ abc 中，∠ a ，∠ b ，∠ c 的对边分别是 a ， b ， c ． 若 a 2 － b 2 ＝ ，sin c ＝ sin b ，则∠ a ＝( )．
a．30° b．60° c．120° d．150°
第II卷（非选择题）
试卷第二部分共有 10 道试题。
二、填空题( 共 4 题 ，共 12 分)
1.如图为曲柄连杆结构示意图，当曲柄 OA 在 OB 位置时，连杆端点 P 在 Q 的位置，当 OA 自 OB 按顺时针旋转 α 角时， P 和 Q 之间的距离为 x ，已知 OA ＝25 cm， AP ＝125 cm，若 OA ⊥ AP ，则 x 等于__________(精确到0.1 cm)．
2.一船在海面 A 处望见两灯塔 P ， Q 在北偏西15°的一条直线上，该船沿东北方向航 行4海里到达 B 处，望见灯塔 P 在正西方向，灯塔 Q 在西北方向，则两灯塔的距离为__________．
3.在△ ABC 中， ， ， ，则 b ＝________.
4.在平行四边形 ABCD 中， ， ，∠ BAC ＝45°，则 AD ＝________.
三、解答题( 共 6 题 ，共 51 分)
1.如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 A ， B ， C 三点进行测量．已知 AB ＝50 m， BC ＝120 m，于 A 处测得水深 AD ＝80 m，于 B 处测得水深 BE ＝200 m，于 C 处测得水深 CF ＝110 m，求∠ DEF 的余弦值．
2.如图， A ， B 两个小岛相距21海里， B 岛在 A 岛的正南方，现在甲船从 A 岛出发，以9海里/时的速度向 B 岛行驶，而乙船同时以6海里/时的速度离开 B 岛向南偏东60°方向行驶，行驶多少时间后，两船相距最近？并求出两船的最近距离．
3.为了测定不能到达底部的铁塔的高 PO ，可以有哪些方法？
4.在△ ABC 中， a ＝8， b ＝7，∠ B ＝60°，求 c 及 S △ ABC ．
5.在△ ABC 中，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 a 2 － c 2 ＝2 b ，且sin B ＝4cos A sin C ，求 B ．
6.在△ ABC 中，已知( a 2 + b 2 )sin(∠ A －∠ B )＝( a 2 － b 2 )sin(∠ A +∠ B )，试判断△ ABC 的形状．
∴ CE ＝ AE tan 60°＝ m，
∴ CD ＝ CE + ED ＝ m.
5.B
6.A
7.A
解析： 由余弦定理可求得 ，再由正弦定理得 .
8.D
9.D
解析： ，又 b ＞ a ，
∴∠ B 有两解．故△ ABC 有两解．
10.C
解析： 易知∠ A ＝ ，∠ B ＝ ，∠ C ＝ ，
∴ a ∶ b ∶ c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶ ∶2.
11.C
解析： 由 得 ，∠ B ＝105°，
S △ ABC ＝ ac sin B ＝ .
12.A
解析： 利用正弦定理，sin C ＝ sin B 可化为 ．
又∵ ，
∴ ，
即 a 2 ＝7 b 2 ， ．
在△ ABC 中， ，∴∠ A ＝30°.
二、填空题
1.22.5 cm
解析： x ＝ PQ ＝ OA + AP － OP ＝25+125－ ≈22.5(cm)．
2. 海里
解析： 如图，
在△ ABP 中， AB ＝4，∠ BAP ＝60°，∠ ABP ＝45°，
∴∠ APB ＝75°.由正弦定理得 ．
又在△ ABQ 中，∠ ABQ ＝45°+45°＝90°，∠ PAB ＝60°，∴ AQ ＝2 AB ＝8，于是 PQ ＝ AQ － AP ＝ ，
∴两灯塔间距离为 海里．
3.
解析： ∵ ，∴ ， S △ ABC ＝ ab sin C ＝ ，即 ，∴ .
4.
解析： BC 2 ＝ AB 2 + AC 2 －2 AB AC cos∠ BAC ＝48，
∴ ，∴ .
三、解答题
1. 解： 如图，作 DM ∥ AC 交 BE 于 N ，交 CF 于 M .
(m)，
(m)，
(m)．
在△ DEF 中，由余弦定理的变形形式，得
cos∠ DEF ＝
.
①当9 t ＜21，即 时， C 在线段 AB 上，
此时 BC ＝21－9 t .
在△ BCD 中， BC ＝21－9 t ， BD ＝6 t ，
∠ CBD ＝180°－60°＝120°，由余弦定理知 CD 2 ＝ BC 2 + BD 2 －2 BC BD cos 120°＝(21－9 t ) 2 +(6 t ) 2 －2×(21－9 t )6 t ＝63 t 2 －252 t +441＝63( t －2) 2 +189.
∴当 t ＝2时， CD 取得最小值 .
②当 时， C 与 B 重合，
则 .
③当 时， BC ＝9 t －21，
则 CD 2 ＝(9 t －21) 2 +(6 t ) 2 －2(9 t －21)6 t cos 60°＝63 t 2 －252 t +441＝63( t －2) 2 +189＞189.
综上可知，当 t ＝2时， CD 取最小值 .
答：行驶2 h后， 甲、乙两船相距最近为 海里．
3. 解 ： 方法一：在地面上引一条基线 AB ，这条基线和塔底在同一水平面上，且延长后不过塔底，测出 AB 的长，用经纬仪测出角 β ， γ 和 A 对塔顶 P 的仰角 α 的大小，则可求出铁塔 PO 的高．计算方法如下：
如图所示，在△ ABO 中，由正弦定理得
，
在Rt△ PAO 中， PO ＝ AO tan α ，
∴ .
方法二：在地面上引一条基线 AB ，这一基线与塔底在同一水平面上，且 AB 延长后不过点 O .测出 AB 的长、张角∠ AOB (设为 θ )及 A ， B 对塔顶 P 的仰角 α ， β ，则可求出铁塔 PO 的高，计算方法如下：
如图所示，在Rt△ POA 中， AO ＝ PO cot α ，
在Rt△ POB 中， BO ＝ PO cot β ，
在△ AOB 中，由余弦定理得 OA 2 + OB 2 －2 OA OB cos θ ＝ AB 2 ，
∴ .
方法三：在地面上引一条基线 AB ，这一基线与塔底在同一水平面上，并使 A ， B ， O 三点在一条直线上，测出 AB 的长和 A ， B 对塔顶 P 的仰角 α ， β ，则可求出铁塔 PO 的高．计算方法如下：
如图所示，在△ PAB 中，由正弦定理得
，
在Rt△ PAO 中， PO ＝ PA sin α ，
∴ .
4. 解： 由余弦定理得8 2 + c 2 －2×8× c ×cos 60°＝7 2 ，即 c 2 －8 c +15＝0，∴ c ＝3或5.
当 c ＝3时， ；
当 c ＝5时， .
5. 解： 由余弦定理得 a 2 － c 2 ＝ b 2 －2 bc cos A ，又 a 2 － c 2 ＝2 b ， b ≠0，∴ b ＝2 c cos A +2.由正弦定理得 ， 又由已知得 ，∴ b ＝4 c cos A ，由 可得 b ＝4.
6. 解： 由已知有 a 2 sin(∠ A －∠ B )+ b 2 sin(∠ A －∠ B )＝ a 2 sin(∠ A +∠ B )－ b 2 sin(∠ A +∠ B )，即2 a 2 cos A sin B －2 b 2 cos B sin A ＝0，
∴ a 2 cos A sin B － b 2 sin A cos B ＝0.
由正弦定理，上式可化为sin 2 A cos A sin B －sin 2 B sin A cos B ＝0，
即sin A sin B (sin A cos A －sin B cos B )＝0，
∵sin A ≠0，sin B ≠0，
∴sin A cos A －sin B cos B ＝0，即sin 2 A ＝sin 2 B ，
∴2∠ A ＝2∠ B 或2∠ A +2∠ B ＝π，
∴∠ A ＝∠ B 或∠ A + ∠ B ＝ .
故△ ABC 为等腰三角形或直角三角形．
