一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1．命题“a=0，则ab=0”的逆否命题是（ ）
A．若ab=0，则a=0 B．若a≠0，则ab≠0 C．若ab=0，则a≠0 D．若ab≠0，则a≠0
2．椭圆 + =1的长轴长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．已知函数f（x）=x2+sinx，则f′（0）=（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．3
4．“a＞1”是“a2＜1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．双曲线 =1的渐近线方程是（ ）
A．y=±2x B．y=±4x C．y=± x D．y=± x
6．已知y=f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）在（﹣3，﹣1）上先增后减 B．x=﹣2是函数f（x）极小值点
C．f（x）在（﹣1，1）上是增函数 D．x=1是函数f（x）的极大值点
7．已知双曲线的离心率e= ，点（0，5）为其一个焦点，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． ﹣ =1 B． ﹣ =1
C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
8．函数f（x）=xlnx的单调递减区间为（ ）
A．（﹣∞， ） B．（0， ） C．（﹣∞，e） D．（e，+∞）
9．若方程 + =1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）
10．已知命题p：x∈（0，+∞），2x＞3x，命题q：x0∈（0，+∞），x ＞x ，则下列命题中的真命题是（ ）
A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∧q
11．f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（ ）
A．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） C．（﹣3，0）∪（3，+∞） D．（﹣3，0）∪（0，3）
12．过点M（2，﹣1）作斜率为 的直线与椭圆 + =1（a＞b＞0）相交于A，B两个不同点，若M是AB的中点，则该椭圆的离心率e=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分.、共16分.
13．抛物线x2=4y的焦点坐标为 ．
14．已知命题p：x0∈R，3 =5，则￢p为 ．
15．已知曲线f（x）=xex在点P（x0，f（x0））处的切线与直线y=x+1平行，则点P的坐标为 ．
16．已知f（x）=ax3+3x2﹣1存在的零点x0，且x0＜0，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共7小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知命题p：函数y=kx是增函数，q：方程 +y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，若p∧（￢q）为真命题，求实数k的取值范围．
18．已知函数f（x）=2x3﹣6x2+m在[﹣2，2]上的值为3，求f（x）在[﹣2，2]上的最小值．
19．已知点P（1，﹣2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）若过抛物线C焦点F的直线l与抛物线C相交于A，B两个不同点，求|AB|的最小值．
20．已知函数f（x）=x﹣ ﹣2alnx（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x= 处取得极值，求实数a的值；
（2）求证：当a≤1时，不等式f（x）≥0在[1，+∞）恒成立．
21．已知函数f（x）=x﹣ ﹣2alnx（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x= 处取得极值，求实数a的值；
（2）若不等式f（x）≥0在[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
22．已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率e= ，点P（﹣ ，1）在该椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围．
23．已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率e= ，原点到直线 + =1的距离为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围．
20xx-20xx学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1．命题“a=0，则ab=0”的逆否命题是（ ）
A．若ab=0，则a=0 B．若a≠0，则ab≠0 C．若ab=0，则a≠0 D．若ab≠0，则a≠0
【考点】四种命题间的逆否关系．
【分析】根据互为逆否的两命题是条件和结论先逆后否来解答．
【解答】解：因为原命题是“a=0，则ab=0”，
所以其逆否命题为“若ab≠0，则a≠0”，
故选D．
2．椭圆 + =1的长轴长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】直接利用椭圆的标准方程求解实轴长即可．
【解答】解：椭圆 + =1的实轴长是：2a=6．
故选：D．
3．已知函数f（x）=x2+sinx，则f′（0）=（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．3
【考点】导数的运算．
【分析】求函数的导数，利用代入法进行求解即可．
【解答】解：函数的导数f′（x）=2x+cosx，
则f′（0）=cos0=1，
故选：C．
4．“a＞1”是“a2＜1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由a2＜1解得﹣1＜a＜1，即可判断出结论．
【解答】解：由a2＜1解得﹣1＜a＜1，
∴“a＞1”是“a2＜1”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
5．双曲线 =1的渐近线方程是（ ）
A．y=±2x B．y=±4x C．y=± x D．y=± x
【考点】双曲线的标准方程．
【分析】利用双曲线的简单性质直接求解．
【解答】解：双曲线 =1的渐近线方为 ，
整理，得y= ．
故选：C．
6．已知y=f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）在（﹣3，﹣1）上先增后减 B．x=﹣2是函数f（x）极小值点
C．f（x）在（﹣1，1）上是增函数 D．x=1是函数f（x）的极大值点
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】本小题考查导数的运用；根据导数值与0的关系判断各个选项即可．
【解答】解：由图象得：﹣3＜x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜﹣1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（﹣3，﹣2）递增，在（﹣2，﹣1）递减，
故选：A．
7．已知双曲线的离心率e= ，点（0，5）为其一个焦点，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． ﹣ =1 B． ﹣ =1
C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设双曲线的方程为 ﹣ =1（a，b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a=3，b=4，进而得到所求双曲线的方程．
【解答】解：设双曲线的方程为 ﹣ =1（a，b＞0），
由题意可得e= = ，c=5，
可得a=3，b= =4，
即有双曲线的标准方程为 ﹣ =1．
故选：D．
8．函数f（x）=xlnx的单调递减区间为（ ）
A．（﹣∞， ） B．（0， ） C．（﹣∞，e） D．（e，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于等于0求出x的范围，写出区间形式即得到函数y=xlnx的单调递减区间．
【解答】解：函数的定义域为x＞0
∵y′=lnx+1
令lnx+1＜0得0＜x＜ ，
∴函数y=xlnx的单调递减区间是（ 0， ），
故选：B．
9．若方程 + =1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意可得m﹣1＞3﹣m＞0，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：方程 + =1表示焦点在y轴上的椭圆，
可得m﹣1＞3﹣m＞0，
解得2＜m＜3．
故选：C．
10．已知命题p：x∈（0，+∞），2x＞3x，命题q：x0∈（0，+∞），x ＞x ，则下列命题中的真命题是（ ）
A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∧q
【考点】复合命题的真假．
【分析】根据x∈（0，+∞），2x＜3x，是真命题，再根据复合命题之间的判定方法即可判断出真假．
【解答】解：命题p：x∈（0，+∞），2x＞3x，是假命题，例如取x=2不成立；
命题q：∵x∈（0，+∞），2x＜3x，因此命题q是假命题，
∴只有（￢p）∧（￢q）是真命题．
故选：C．
11．f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（ ）
A．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） C．（﹣3，0）∪（3，+∞） D．（﹣3，0）∪（0，3）
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．
【分析】构造函数h（x）=f（x）g（x），利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．
【解答】解：令h（x）=f（x）g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g（x）=﹣h（x），因此函数h（x）在R上是奇函数．
①∵当x＜0时，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0时单调递增，
故函数h（x）在R上单调递增．
∵h（﹣3）=f（﹣3）g（﹣3）=0，
∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（﹣3），
∴x＜﹣3．
②当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（3）=﹣h（﹣3）=0，
∴h（x）＜0，的解集为（0，3）．
∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．
故选：A
12．过点M（2，﹣1）作斜率为 的直线与椭圆 + =1（a＞b＞0）相交于A，B两个不同点，若M是AB的中点，则该椭圆的离心率e=（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为 = = ，即可求出椭圆的离心率．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=﹣2，
A，B两个不同点代入椭圆方程，可得 + =1， + =1，
作差整理可得 + =0，
∵斜率为 = = ，
∴a=2b，
∴c= = b，
∴e= = ．
故选：C．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分.、共16分.
13．抛物线x2=4y的焦点坐标为 （0，1） ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．
【解答】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴
∴抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）
故答案为：（0，1）
14．已知命题p：x0∈R，3 =5，则￢p为 x∈R，3x≠5 ．
【考点】命题的否定．
【分析】由特称命题的否定方法可得结论．
【解答】解：由特称命题的否定可知：
￢p：x∈R，3x≠5，
故答案为：x∈R，3x≠5．
15．已知曲线f（x）=xex在点P（x0，f（x0））处的切线与直线y=x+1平行，则点P的坐标为 （0，0） ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得x0为x+1=e﹣x的解，运用单调性可得方程的解，进而得到P的坐标．
【解答】解：f（x）=xex的导数为f′（x）=（x+1）ex，
可得切线的斜率为（x0+1）ex0，
由切线与直线y=x+1平行，可得
（x0+1）ex0=1，
即有x0为x+1=e﹣x的解，
由y=x+1﹣e﹣x，在R上递增，且x=0时，y=0．
即有x0=0，
则P的坐标为（0，0）．
故答案为：（0，0）．
16．已知f（x）=ax3+3x2﹣1存在的零点x0，且x0＜0，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣2） ．
【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．
【分析】讨论a的取值范围，求函数的导数判断函数的极值，根据函数极值和单调性之间的关系进行求解即可．
【解答】解：（i）当a=0时，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x= ，函数f（x）有两个零点，舍去．
（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2+6x=3ax（x+ ），令f′（x）=0，解得x=0或﹣ ．
①当a＜0时，﹣ ＞0，当x＞﹣ 或x＜0，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当0＜x＜﹣ 时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
∴故x=﹣ 是函数f（x）的极大值点，0是函数f（x）的极小值点．
∵函数f（x）=ax3+3x2﹣1存在的零点x0，且x0＜0，则f（﹣ ）=﹣ + ﹣1= ﹣1＜0，
即a2＞4得a＞2（舍）或a＜﹣2．
②当a＞0时，﹣ ＜0，当x＜﹣ 或x＞0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；
当﹣ ＜x＜0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
∴x=﹣ 是函数f（x）的极大值点，0是函数f（x）的极小值点．
∵f（0）=﹣1＜0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上存在一个零点，此时不满足条件．
综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．
故答案为：（﹣∞，﹣2）．
三、解答题：本大题共7小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知命题p：函数y=kx是增函数，q：方程 +y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，若p∧（￢q）为真命题，求实数k的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】命题p：函数y=kx是增函数，利用一次函数的单调性可得k＞0．命题q：方程 +y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，可得k＞1．由于p∧（￢q）为真命题，可得p为真命题，q为假命题．即可得出．
【解答】解：命题p：函数y=kx是增函数，∴k＞0．
命题q：方程 +y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，∴k＞1．
∵p∧（￢q）为真命题，∴p为真命题，q为假命题．
∴ ，解得0＜k≤1．
∴实数k的取值范围是0＜k≤1．
18．已知函数f（x）=2x3﹣6x2+m在[﹣2，2]上的值为3，求f（x）在[﹣2，2]上的最小值．
【考点】二次函数的性质．
【分析】求导并判断导数的正负，从而确定单调区间；由值建立方程求出m的值，进而求出最小值．
【解答】解：f′（x）=6x2﹣12x，令f′（x）=0，则x=0或x=2，
x （﹣∞，0） 0 （0，2） 2 （2，+∞）
f（x） 正 0 负 0 正
f（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增
∴f（x）在[﹣2，0]上单调递增，在（0，2]上单调递减，
∴f（x）max=f（0）=m=3，
即f（x）=2x3﹣6x2+3，
又∵f（﹣2）=﹣37，f（2）=﹣5，
∴f（x）min=f（﹣2）=﹣37．
19．已知点P（1，﹣2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）若过抛物线C焦点F的直线l与抛物线C相交于A，B两个不同点，求|AB|的最小值．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）根据点P（1，﹣2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，可得p值，即可求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）设直线l的方程为：x+my﹣1=0，代入y2=4x，整理得，y2+4my﹣4=0，利用韦达定理和抛物线的定义知|AB|=4（m2+1）≥4，由此能求出|AB|的最小值．
【解答】解：∵点P（1，﹣2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，
∴2p=4，解得：p=2，
∴抛物线C的方程为y2=4x，准线方程为x=﹣1；
（2）设直线l的方程为：x+my﹣1=0，
代入y2=4x，整理得，y2+4my﹣4=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1，y2是上述关于y的方程的两个不同实根，所以y1+y2=﹣4m
根据抛物线的定义知：|AB|=x1+x2+2=（1﹣my1）+（1﹣my2）=4（m2+1）
∴|AB|=4（m2+1）≥4，
当且仅当m=0时，|AB|有最小值4．
20．已知函数f（x）=x﹣ ﹣2alnx（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x= 处取得极值，求实数a的值；
（2）求证：当a≤1时，不等式f（x）≥0在[1，+∞）恒成立．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）求出函数的导数，根据f′（ ）=0，解出验证即可；（2）求出函数的导数，通过a的范围，确定导函数的符号，求出函数f（x）的单调性，从而判断f（x）的范围．
【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=1+ ﹣ ，
∴f′（ ）=1+4（2a﹣1）﹣4a=0，解得：a= ，
∴a= 时，f′（x）= ，
∴f（x）在（0， ）递增，在（ ，1）递减，
f（x）在x= 处取得极值，
故a= 符合题意；
（2）f′（x）=1+ ﹣ = ，
当a≤1时，则2a﹣1≤1，
∴f′（x）＞0在（1，+∞）恒成立，
函数f（x）递增，
∴f（x）≥f（1）=2（1﹣a）≥0．
21．已知函数f（x）=x﹣ ﹣2alnx（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x= 处取得极值，求实数a的值；
（2）若不等式f（x）≥0在[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）求出函数的导数，根据f′（ ）=0，解出验证即可；
（2）依题意有：fmin（x，）≥0从而求出f（x）的导数，令f′（x）=0，得：x1=2a﹣1，x2=1，通过讨论①当2a﹣1≤1即a≤1时②当2a﹣1＞1即a＞1时，进而求出a的范围
【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=1+ ﹣ ，
∴f′（ ）=1+4（2a﹣1）﹣4a=0，解得：a= ，
∴a= 时，f′（x）= ，
∴f（x）在（0， ）递增，在（ ，1）递减，
f（x）在x= 处取得极值，
故a= 符合题意；
（2）依题意有：fmin（x，）≥0
f′（x）= ，
令f′（x）=0，
得：x1=2a﹣1，x2=1，
①当2a﹣1≤1即a≤1时，
函数f'（x）≥0在[1，+∞）恒成立，
则f（x）在[1，+∞）单调递增，
于是fmin（x）=f（1）=2﹣2a≥0，
解得：a≤1；
②当2a﹣1＞1即a＞1时，
函数f（x）在[1，2a﹣1]单调递减，在[2a﹣1，+∞）单调递增，
于是fmin（x）=f（2a﹣1）＜f（1）=2﹣2a＜0，不合题意，
综上所述：实数a的取值范围是a≤1．
22．已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率e= ，点P（﹣ ，1）在该椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）根据离心率公式和点满足椭圆方程，结合b2=a2﹣c2，即可求得椭圆C的方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），y1≠y2，BA的中点（x0，y0），直线y=kx+1且k≠0，恒过（0，1），点B，A在椭圆上，化简可得y0= =﹣1，AB的中点在y=kx+1上，解得x0，利用 ，可得x=± ，推出k的不等式，得到结果．
【解答】解：（1）由已知e= = ，即c2= a2，b2=a2﹣c2= a2，
将P（﹣ ，1）代入椭圆方程，可得 + =1，
∴a=2，b= ，∴a2=4，∴b2=2，
∴椭圆C的方程为： + =1；
（2）椭圆C上存在点B，A关于直线y=kx+1对称，
设A（x1，y1），B（x2，y2），y1≠y2
AB的中点（x0，y0），直线y=kx+1且k≠0，恒过（0，1），
则x12+（y1﹣1）2=x22+（y2﹣1）2，
点B，A在椭圆上，
∴x12=4﹣2y12，x22=4﹣2y22，∴4﹣2y12+（y1﹣1）2=4﹣2y22+（y2﹣1）2，
化简可得：y12﹣y22=﹣2（y1﹣y2），即y1+y2=﹣2，
∴y0= =﹣1，
又因为AB的中点在y=kx+1上，所以y0=kx0+1，x0=﹣ ，
由 ，可得x=± ，
∴0＜﹣ ＜ ，或﹣ ＜﹣ ＜0，
即k＜﹣ 或k＞ ．
则k的取值范围是（﹣∞，﹣ ）∪（ ，+∞）．
23．已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率e= ，原点到直线 + =1的距离为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）根据离心率公式和点到直线的距离公式，结合b2=a2﹣c2，即可求得椭圆C的方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），y1≠y2，BA的中点（x0，y0），直线y=kx+1且k≠0，恒过（0，1），点B，A在椭圆上，化简可得y0= =﹣1，AB的中点在y=kx+1上，解得x0，利用 ，可得x=± ，推出k的不等式，得到结果．
【解答】解：（1）由已知e= = ，即c2= a2，b2=a2﹣c2= a2，
原点到直线 + =1的距离为 ，
即有 = ，
∴a=2，b= ，∴a2=4，∴b2=2，
∴椭圆C的方程为： + =1；
（2）椭圆C上存在点B，A关于直线y=kx+1对称，
设A（x1，y1），B（x2，y2），y1≠y2
AB的中点（x0，y0），直线y=kx+1且k≠0，恒过（0，1），
则x12+（y1﹣1）2=x22+（y2﹣1）2，
点B，A在椭圆上，
∴x12=4﹣2y12，x22=4﹣2y22，∴4﹣2y12+（y1﹣1）2=4﹣2y22+（y2﹣1）2，
化简可得：y12﹣y22=﹣2（y1﹣y2），即y1+y2=﹣2，
∴y0= =﹣1，
又因为AB的中点在y=kx+1上，所以y0=kx0+1，x0=﹣ ，
由 ，可得x=± ，
∴0＜﹣ ＜ ，或﹣ ＜﹣ ＜0，
即k＜﹣ 或k＞ ．
则k的取值范围是（﹣∞，﹣ ）∪（ ，+∞）
