一条直线与一个平面无公共点(不相交),称为直线与平面平行。线面平行的性质定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;平面外一条直线与此平面的垂线垂直,则这条直线与此平面平行。
线面平行的性质定理一
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
已知:a∥b,a⊄α,b⊂α,求证:a∥α
反证法证明:假设a与α不平行,则它们相交,设交点为A,那么A∈α
∵a∥b,∴A不在b上
在α内过A作c∥b,则a∩c=A
又∵a∥b,b∥c,∴a∥c,与a∩c=A矛盾。
∴假设不成立,a∥α
线面平行的性质定理二
平面外一条直线与此平面的垂线垂直,则这条直线与此平面平行。
已知:a⊥b,b⊥α,且a不在α上。求证:a∥α
证明:设a与b的垂足为A,b与α的垂足为B。
假设a与α不平行,那么它们相交,设a∩α=C,连接BC由于不在直线上的三个点确定一个平面,因此ABC首尾相连得到△ABC
∵B∈α,C∈α,b⊥α
∴b⊥BC,即∠ABC=90°
∵a⊥b,即∠BAC=90°
∴在△ABC中,有两个内角为90°,这是不可能的事情。
∴假设不成立,a∥α。