首页 > 高中 > 勾股定理的证明方法

勾股定理的证明方法

时间:2020-09-18 23:50:31

  最常见的勾股定理证明方法是欧几里得证明,设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。

  在欧氏《几何原本》中,勾股定理的证明方法是:以直角三角形的三条边为边,分别向外作正方形,然后利用面积方法加以证明。如图,设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等,即,。

  在这个定理的证明中,我们需要如下四个辅助定理:

  如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS)

  三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半,如。

  任意一个正方形的面积等于其两边长的乘积。

  任意一个矩形的面积等于其两边长的乘积。

  证明的方法如下:

  设△ABC为一直角三角形,其直角为∠CAB。

  其边为BC、AB和CA,依序绘成正方形CBDE、BAGF和ACIH。如上图,

  画出过点A与BD、CE的平行线,分别垂直BC和DE于K、L。

  分别连接CF、AD,形成△BCF、△BDA。

  ∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A和G共线,同理可证B、A和H共线。

  ∠CBD和∠FBA都是直角,所以∠ABD=∠FBC。

  因为AB=FB,BD=BC,所以△ABD≌△FBC。

  因为A、K和L在同一直线上,所以四边形面积。

  因为C、A和G在同一直线上,所以正方形面积。

  因此=AB²。

  同理可证,=AC²。

  把这两个结果相加,AB²+AC²=BD×BK+KL×KC

  由于BD=KL,BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

  由于CBDE是个正方形,因此AB²+AC²=BC²,即a²+b²=c²。

上一篇:无可奈何花落去的哲理

下一篇:半圆的面积怎么算

相关阅读
最新更新