平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)。平面向量用a，b，c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。
向量的加法1.向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.
AB+BC=AC.
a+b=(x+x，y+y).
a+0=0+a=a.
2.向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a;
结合律：(a+b)+c=a+(b+c).
向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0
AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”
a=(x，y) b=(x，y) 则 a-b=(x-x，y-y).
向量的的数量积1.定义：已知两个非零向量a，b.作OA=a，OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉并规定0≤〈a，b〉≤π
定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a•b.若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉;若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣.
2.向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x+y•y.
3.向量的数量积的运算律
a•b=b•a(交换律);
(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);
(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);
4.向量的数量积的性质
a•a=|a|的平方.
a⊥b 〈=〉a•b=0.
|a•b|≤|a|•|b|.
5.向量的数量积与实数运算的主要不同点
（1）向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2.
（2）向量的数量积不满足消去律，即：由 a•b=a•c (a≠0)，推不出 b=c.
（3）|a•b|≠|a|•|b|
（4）由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b.
数乘向量1.实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣.
当λ0时，λa与a同方向;
当λ0时，λa与a反方向;
当λ=0时，λa=0，方向任意.
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0.
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0.
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.
当∣λ∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上伸长为原来的∣λ∣倍;
当∣λ∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上缩短为原来的∣λ∣倍.
2.数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb).
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ.
向量的向量积1.定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作a×b.若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线，则a×b=0.
2.向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.
a×a=0.
a‖b〈=〉a×b=0.
3.向量的向量积运算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的.
向量的三角形不等式1.∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
① 当且仅当a、b反向时，左边取等号;
② 当且仅当a、b同向时，右边取等号.
2.∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.
① 当且仅当a、b同向时，左边取等号;
② 当且仅当a、b反向时，右边取等号.
定比分点定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)
设P1.P2是直线上的两点，P是l上不同于P1.P2的任意一点.则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.
若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ)，
y=(y1+λy2)/(1+λ).(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
其他公式1.三点共线定理
若OC=λOA +μOB ，且λ+μ=1 ，则A、B、C三点共线
2.三角形重心判断式
在△ABC中，若GA +GB +GC=O，则G为△ABC的重心
3.向量共线的重要条件
若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb.
a//b的重要条件是 xy-xy=0.
4.零向量0平行于任何向量.
5.向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是 a•b=0.
a⊥b的充要条件是 xx+yy=0.
6.零向量0垂直于任何向量.
