7.(2014无锡高二检测)已知直线m 平面α，直线n 平面α，m∩n=M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b⊥n，则直线a，b的位置关系是________.
【解析】因为直线a⊥m，a⊥n，直线m 平面α，直线n 平面α，m∩n=M，所以a⊥α.同理可证直线b⊥α，所以a∥b.
答案：a∥b
8.若三个平面两两垂直，它们交于一点A，空间一点C1到三个平面的距离分别为5，6，7，则AC1的长为________.
【解析】如图构造长方体，可知长方体的长、宽、高分别为7，6，5，AC1为体对角线，所以AC1= = .
答案：
9.AB是☉O的直径，点C是☉O上的动点(点C不与A，B重合)，过动点C的直线VC垂直于☉O所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点，则下列结论中正确的是________(填写正确结论的序号).
(1)直线DE∥平面ABC.
(2)直线DE⊥平面VBC.
(3)DE⊥VB.
(4)DE⊥AB.
【解析】因为AB是☉O的直径，点C是☉O上的动点(点C不与A，B重合)，
所以AC⊥BC，
因为VC垂直于☉O所在的平面，
所以AC⊥VC，又BC∩VC=C，
所以AC⊥平面VBC.
因为D，E分别是VA，VC的中点，
所以DE∥AC，又DE平面ABC，AC 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
DE⊥平面VBC，DE⊥VB，
DE与AB所成的角为∠BAC是锐角，故DE⊥AB不成立.
由以上分析可知(1)(2)(3)正确.
答案：(1)(2)(3)
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.(2014开封高一检测)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.
(1)求证：AB⊥A1C.
(2)若AB=CB=2，A1C= ，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
【解析】(1)如图，
取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.
因为CA=CB，所以OC⊥AB.
由于AB=AA1，∠BAA1=60°，故△AA1B为等边三角形，
所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C.
又A1C 平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，
所以OC=OA1= .
又A1C= ，则A1C2=OC2+O ，故OA1⊥OC.
因为OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，所以OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高.
又△ABC的面积S△ABC= ，故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×OA1= × =3.
11.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA1= ，D是A1B1的中点.
(1)求证：C1D⊥平面A1B.
(2)当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF?并证明你的结论.
【解析】(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，
所以A1C1=B1C1=1，且∠A1C1B1=90°.
又D是A1B1的中点，
所以C1D⊥A1B1.
因为AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，
所以AA1⊥C1D，又AA1∩A1B1=A1，
所以C1D⊥平面A1B.
(2)作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求.
证明：因为C1D⊥平面AA1B1B，AB1 平面AA1B1B，
所以C1D⊥AB1.
又AB1⊥DF，DF∩C1D=D，
所以AB1⊥平面C1DF.
【变式训练】如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB.
【证明】因为SA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以SA⊥BC，又因为BC⊥AB，
SA∩AB=A，
所以BC⊥平面SAB，
又AE 平面SAB，所以BC⊥AE.
因为SC⊥平面AEFG，所以SC⊥AE.
又BC∩SC=C，所以AE⊥平面SBC，
所以AE⊥SB.
