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椭圆通径公式

时间:2020-09-19 00:29:08

  圆的通径就是过焦点垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的线段长度,所以把椭圆方程中的x代成c,就可得:就可得y1=b²/a,y2=-b^/a,所以通径的长度就是y1-y2=2b²/a,其中b²表示b的平方。

推导过程

  证明:

  设椭圆x²/a²+y²/b²=1,焦点(c,0),(-c,0),且c²=a²-b²

  令x=c或-c,c²/a²+y²/b²=1

  ∴y²/b²=1-c²/a²=1-(a²-b²)/a²=b²/a²

  ∴y²=b²×b²/a²,y=b²/a或-b²/a

  即通径两端点为(c,b²/a)(c,-b²/a),或者(-c,b²/a)(-c,-b²/a)

  ∴通径长=b²/a-(-b²/a)=2b²/a

椭圆通径长定理

  椭圆通径长定理,指的是椭圆的通径AB就是过焦点垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的线段AB。可以由勾股定理推导。椭圆中的通径是通过焦点最短的弦。

椭圆的常见问题以及解法

  例如:有一个圆柱,被截得到一个截面,下面证明它是一个椭圆(用第一定义):

  将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压,它们碰到截面的时候停止,那么会得到两个公共点,显然他们是截面与球的切点。

  设两点为F1.F2

  对于截面上任意一点P,过P做圆柱的母线Q1.Q2,与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1.Q2

  则PF1=PQ1.PF2=PQ2,所以PF1+PF2=Q1Q2

  由定义1知:截面是一个椭圆,且以F1.F2为焦点

  用同样的方法,也可以证明圆锥的斜截面(不通过底面)为一个椭圆。

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