2.3.2离散型随机变量的方差
教学目标：
知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
过程与方法：了解方差公式D(a+b)=a2D， 以及若～(n，p)，则D=np(1p)，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ，体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差
教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题
教具准备：多媒体、实物投影仪 。
教学设想：了解方差公式D(a+b)=a2D，以及若～(n，p)，则D=np(1p)，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
授课类型：新授课
课时安排：2课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
数 学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值.今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.
回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据 ， ，， 中，各数据与它们的平均值 得差的平方分别是 ， ，， ，那么 + ++叫做这组数据的方差
教学过程：
一、复习引入：
1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母、等表示
2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量
3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出
5. 分布列:
x1 x2 xi
P P1 P2 Pi
6. 分布列的两个性质： ⑴Pi0，i=1，2，; ⑵P1+P2+=1.
7.二项分布:～B(n，p)，并记 =b(k;n，p).
0 1 k n
P
8.几何分布： g(k，p)= ，其中k=0，1，2，， .
1 2 3 k
P9.数学期望: 一般地，若离散型随机变量的概率分布为
x1 x2 xn
P p1 p2 pn
则称 为的数学期望，简称期望.
10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令 ，则有 ， ，所以的数学期望又称为平均数、均值
12. 期望的一个性质:
13.若 B(n，p)，则E=np
二、讲解新课：
1. 方差: 对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是 ， ，， ， ，且取这些值的概率分别是 ， ，， ，，那么，
= + ++ +
称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的 是随机变量的期望.
2. 标准差: 的算术平方根 叫做随机变量的标准差，记作 .
3.方差的性质：(1) ;(2) ;
(3)若～B(n，p)，则 np(1-p)
4.其它：
⑴随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的;
⑵随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度;
⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛
三、讲解范例：例1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 解：抛掷散子所得点数X 的分布列为 1 2 3 4 5 6 从而 例2.有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息： 甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400 1600 1800 获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 1800 2000 获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位? 解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得 EX1 = 12000.4 + 1 4000.3 + 16000.2 + 18000.1 = 1400 ， DX1 = (1200-1400) 2 0. 4 + (1400-1400 ) 20.3 + (1600 -1400 )20.2+(1800-1400) 20. 1 = 40 000 ; EX2=1 0000.4 +1 4000.3 + 1 8000.2 + 22000.1 = 1400 ， DX2 = (1000-1400)20. 4+(1 400-1400)0.3 + (1800-1400)20.2 + (2200-1400 )20.l = 160000 . 因为EX1 =EX2， DX 1 例3.设随机变量的分布列为 1 2 nP
求D
解：(略) ，
例4.已知离散型随机变量 的概率分布为
1 2 3 4 5 6 7
P
离散型随机变量 的概率分布为
3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3
P
求这两个随机变量期望、均方差与标准差
解： ;
;
;
=0.04， .
点评：本题中的 和 都以相等的概率取各个不同的值，但 的取值较为分散， 的取值较为集中. ， ， ，方差比较清楚地指出了 比 取值更集中.
=2， =0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差
例5.甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2，0.6，0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为 0.4，0.2，0.24 用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平
解：
+(10-9) ;同理有
由上可知， ， 所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8.10环地次数多些.
点评：本题中， 和 所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同. =9，这时就通过 =0.4和 =0.8来比较 和 的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况
例6.A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：
A机床 B机床
次品数1 0 1 2 3 次品数1 0 1 2 3
概率P 0.7 0.2 0.06 0 .04 概率P 0.8 0.06 0.04 0.10
问哪一台机床加工质量较好
解： E1=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44，
E2=00.8+10.06+20.04+30.10=0.44.
它们的期望相同，再比较它们的方差
D1=(0-0.44)20.7+(1-0.44)20.2+(2-0.44)2
0.06+(3-0.44)20.04=0.6064，
D2=(0-0.44)20.8+(1-0.44)20.06+(2-0.44)2
0.04+(3-0.44)20.10=0.9264.
D1 D2 故A机床加工较稳定、质量较好.
四、课堂练习：
1 .已知 ，则 的值分别是( )
A. ;B. ;C. ;D.
答案：1.D
2 . 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出次品数的期望.
分析：涉及次品率;抽样是否放回的问题.本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的.如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.
解：设取得正品之前已取出的次品数为，显然所有可能取的值为0，1，2，3
当=0时，即第一次取得正品，试验停止，则
P(=0)=
当=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则
P(=1)=
当=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则
P(=2)=
当=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P(=3)=
所以，E=
3. 有一批数量很大的商品的次品率为1% ，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为，求E，D
分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题.由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的.解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即 B(200，1%)，从而可用公式：E=np，D=npq(这里q=1-p)直接进行计算
解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以 B(200，1%) 因为E=np，D=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，E=2001%=2，D=2001%99%=1.98
4. 设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数的方差不超过1/4
分析：这是一道纯数学问题.要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列.求出方差D=P(1-P)后，我们知道D是关于P(P0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论
证明：因为所有可能取的值为0，1且P(=0)=1-p，P(=1)=p，
所以，E=0(1-p)+1p=p
则 D=(0-p)2(1-p)+(1-p) 2p=p(1-p)
5. 有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：
A 110 120 125 130 135 B 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中A、B分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度.在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好
分析： 两个随机变量A和 B都以相同的概率0.1，0.2，0.4，0.1，0.2取5个不同的数值.A取较为集中的数值110，12 0，125， 130，135;B取较为分散的数值100，115，125，130，145.直观上看，猜想A种钢筋质量较好.但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性
解：先比较A与B的期望值，因为
EA=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+1350.2=125，
EB=1000.1+1150.2+1250.4十1300.1+1450.2=125.
所以，它们的期望相同.再比较它们的方差.因为
DA=(110-125)20.1+(120-125) 2 0.2+(130-125) 20.1+(135-125) 20.2=50，
DB=(100-125)20.1+(110-125) 2 0.2+(130-125) 20.1+(145-125) 20.2=165.
所以，DA DB.因此，A种钢筋质量较好
6. 在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的.在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元?
分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等.一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题.本题的不考虑获利的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用
解：设一张彩票中奖额为随机变量，显然所有可能取的值为0，5，25，100 依题
意，可得的分布列为
0 5 25 100
P
答：一张彩票的合理价格是0.2元.
五、小结 ：⑴求离散型随机变量的方差、标准差的步骤：①理解的意义，写出可能取的全部值;②求取各个值的概率，写出分布列;③根据分布列，由期望的定义求出E;④根据方差、标准差的定义求出 、 .若～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可.
⑵对于两个随机变量 和 ，在 和 相等或很接近时，比较 和
，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要
六、课后作业： P69练习1，2，3 P69 A组4 B组1，2
1.设 ～B(n、p)且E =12 D =4，求n、p
解：由二次分布的期 望与方差性质可知E =np D = np(1-p)
2.已知随机变量 服从二项分布即 ~B(6. )求b (2;6， )
解：p( =2)=c62( )2( )4
3.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 和 ，已知 和 的分布列如下：(注得分越大，水平越高)
1 2 3
p A 0.1 0.6
1 2 3
p 0.3 b 0.3
试分析甲、乙技术状况
解：由0.1+0.6+a+1 a=0.3
0.3+0.3+b=1 a=0.4
E =2.3 ， E =2.0
D =0.81 ， D =0.6
七、板书设计(略)
八、教学反思：
⑴求离散型随机变量的方差、标准差的步骤：
①理解的意义，写出可能取的全部值;
②求取各个值的概率，写出分布列;
③根据分布列，由期望的定义求出E;
④根据方差、标准差的定义求出 、 .若～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可.
⑵对于两个随机变量 和 ，在 和 相等或很接近时，比较 和 ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要
