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线面垂直的判定定理

时间:2020-10-15 23:05:01

  如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直,就说这条直线与此平面互相垂直。判定定理:如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直。

  如图,l与α内两条相交直线a,b都垂直,求证:l⊥α

  证明:与a或b平行的直线必垂直l,因此接下来的讨论围绕与a,b不平行的直线进行。

  先将a,b,l平移至相交于O点,过O作任意一条直线g,在g上取异于O的点G,过G作GB∥a交b于B,过G作GA∥b交a于A。连接AB,设AB与OG交点为C

  ∵OA∥GB,OB∥GA

  ∴四边形OAGB是平行四边形

  ∴C是AB中点

  由中线定理,OA²+OB²=2OC²+2AC²

  在l上取异于O的点D,连接DA,DB,由中线定理

  DA²+DB²=2DC²+2AC²

  两式相减可得

  DA²-OA²+DB²-DB²=2DC²-2OC²

  又注意到OD⊥OA,OD⊥OB

  ∴得OD²+OD²=2DC²-2DC²

  即CD²=OD²+OC²

  ∴OD⊥OC

  由g的任意性可知,l与α内任意直线都垂直

  ∴l⊥α

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