分式及基本性质
一、分式的概念
1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
2.对于分式概念的理解，应把握以下几点：
（1）分式是两个整式相除的商。其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。
3.分式有意义、无意义的条件
（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；
（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4.分式的值为0的条件：
当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。即，使=0的条件是：A=0，B≠0。
5.有理式
整式和分式统称为有理式。整式分为单项式和多项式。
分类：有理式
单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；
多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质
1.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：==，其中M（M≠0）为整式。
2.通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的次幂、所有不同字母及指数的积。（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3.约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
在约分时要注意：（1）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的公约数，相同字母的最低次幂；（2）如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分；（3）约分一定要把公因式约完。
三、分式的符号法则：
（1）==－；（2）=；（3）－=
分式的运算
一、分式的乘除法
1.法则：
（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。
用式子表示：
（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。
用式子表示：
2.应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。
二、分式的乘方
1.法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。
用式子表示：（其中n为正整数，a≠0）
2.注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简。
三、分式的加减法
（一）同分母分式的加减法
1.法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用式子表示：
2.注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。
（二）异分母分式的加减法
1.法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。用式子表示：。
2.注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1，然后进行通分。（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。
四、分式的混合运算
1.运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。遇到括号时，要先算括号里面的。
2.注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；（3）分式运算结果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式或整式。
可化为一元一次方程的分式方程
一、分式方程基本概念
1.定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2.理解分式方程要明确两点：（1）方程中含有分式；（2）分式的分母含有未知数。
分式方程与整式方程区别就在于分母中是否含有未知数。
二、分式方程的解法
1.解分式方程的基本思想：化分式方程为整式方程。途径：“去分母”。
方法是：方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程求解。
2.解分式方程的一般步骤：
（1）去分母。即在方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，把原分式方程化为整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根。验根方法：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原分式方程的根，使最简公分母为0的根是原分式方程的增根，必须舍去。这种验根方法不能检查解方程过程中出现的计算错误，还可以采用另一种验根方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法可以发现解方程过程中有无计算错误。
3.分式方程的增根。意义是：把分式方程化为整式方程后，解出的整式方程的根有时只是这个整式的方程的根而不是原分式方程的根，这种根就是增根，因此，解分式方程必须验根。
三、分式方程的应用
1.意义：分式方程的应用就是列分式方程解应用题，它和列一元一次方程解应用题的方法、步骤、解题思路基本相同，不同的是，因为有了分式概念，所列代数式的关系不再受整式的限制，列出的方程含有分式，且分母含有未知数，解出方程的解后还要进行检验。
2.列分式方程解应用题的一般步骤如下：
（1）审题。理解题意，弄清已知条件和未知量；
（2）设未知数。合理的设未知数表示某一个未知量，有直接设法和间接设法两种；
（3）找出题目中的等量关系，写出等式；
（4）用含已知量和未知数的代数式来表示等式两边的语句，列出方程；
（5）解方程。求出未知数的值；
（6）检验。不仅要检验所求未知数的值是否为原方程的根，还要检验未知数的值是否符合题目的实际意。“双重验根”。
零指数幂与负整数指数幂
一、零指数幂
1.定义：任何不等于零的实数的零次幂都等于1，即a0=1（a≠0）。
2.特别注意：零的零次幂无意义。即00无意义。若问当x=_____时，(x-2)0有意义。答案是：x≠2。
（2）按照定义分为：
二、负整数指数幂
1.定义：任何不等于的数的-n（n为正整数）次幂，都等于这个数的n次幂的倒数，
即a-n=（a≠0，n为正整数）
2.注意事项：
（1）负整数指数幂成立的条件是底数不为0；
（2）正整数指数幂的所有运算法则均适用于负整式指数幂，即指数幂的运算可以扩大到整数指数幂范围；
（3）要避免像5-2=-2×5=-10的错误，正确算法是：。
三、用科学计数法表示绝对值小于1的数
1.规则：绝对值小于1的数，利用10的负整式指数幂，把它表示成a×10-n（n为正整数），其中1≤|a|＜10。
2.注意事项：
（1）n为该数左边第一个非零数字前所有0的个数（包括小数点前的那个零）。如-0.00021=-2.1×10-4
（2）注意数的符号的变化，在数前面有负号的，其结果也要写符号。
（3）写科学记数法的关键的是确定10n的指数n的值。
