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射影定理公式及推导过程

时间:2020-09-19 00:27:40

  射影定理,又称“欧几里德定理”:在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项,每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

  

影射定理

  影射定理,又称“欧几里德定理”:在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项,每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形计算的重要定理。

  在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高,则有射影定理如下:

  BD²=AD·CD

  AB²=AC·AD

  BC²=CD·AC

  由古希腊著名数学家、《几何原本》作者欧几里得提出。

验证推导

  证明:①∵CD²+AD²=AC²,CD²+BD²=BC²

  ∴2CD²+AD²+BD²=AC²+BC²

  ∴2CD²=AB²-AD²-BD²

  ∴2CD²=(AD+BD)²-AD²-BD²

  ∴2CD²=AD²+2AD·BD+BD²-AD²-BD²

  ∴2CD²=2AD·BD

  ∴CD²=AD·BD

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