n次根号下n的极限

　　lim(n→+∞)n^(1/n)=1。n的阶乘的开n次方极限为无穷大，具体可以以n的阶乘的开n次方为分母，让分子为零，整体扩大n次得n的阶乘分之一，及解得极限为无穷大。

　　以下n^(1/n)表示n的1/n次方，即n的n次算术根。

　　解:当n1时，显然

　　n^(1/n)-10.

　　令n^(1/n)-1=t，则t0，由二项式定理得

　　n=(1+t)^n

　　=C(n，0)t^0+C(n，1)t^1+C(n，2)t^2+......+C(n，n)t^n

　　C(n，2)t^2

　　=n(n-1)t^2/2.

　　因此

　　2(n-1)t^2

　　从而

　　t0，

　　n^(1/n)-1√2/√(n-1)，

　　lim(n→+∞)√2/√(n-1)=0，

　　由数列极限的迫敛性得

　　lim(n→+∞)(n^(1/n)-1)=0

　　即

　　lim(n→+∞)n^(1/n)=1。