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高二数学上册期末试卷

时间:2020-07-23 00:20:47

  一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.准线为x=﹣2的抛物线的标准方程为(  )
A.y2=﹣8x B.y2=8x C.x2=8y D.x2=﹣8y
 
2.设x∈R,则x>e的一个必要不充分条件是(  )
A.x>1 B.x<1 C.x>3 D.x<3
 
3.不等式ax2+bx﹣2≥0的解集为 ,则实数a,b的值为(  )
A.a=﹣8,b=﹣10 B.a=﹣1,b=9 C.a=﹣4,b=﹣9 D.a=﹣1,b=2
 
4.已知函数f(x)=(x﹣3)ex,则f′(0)=(  )
A.2 B.﹣2 C.3 D.4
 
5.首项a1>0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=S12,则Sn取得值时n的值为(  )
A.7 B.8或9 C.8 D.10
 
6.椭圆的两个焦点和短轴的两个端点,恰好是含60°角的菱形的四个顶点,则椭圆的离心率为(  )
A. B. C. 或 D. 或
 
7.等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…log3a10=(  )
A.12 B.10 C.8 D.2+log35
 
8.下列命题为真命题的是(  )
A.已知x,y∈R,则 是 的充要条件
B.当0<x≤2时,函数y=x﹣ 无值
C.a,b∈R,
D.x∈R,sinx+cosx=
 
9.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若 ,且 ,则下列关系一定不成立的是(  )
A.a=c B.b=c C.2a=c D.a2+b2=c2
 
10.已知函数f(x)=(1﹣ )ex,若同时满足条件:
①x0∈(0,+∞),x0为f(x)的一个极大值点;
②x∈(8,+∞),f(x)>0.
则实数a的取值范围是(  )
A.(4,8] B.[8,+∞) C.(﹣∞,0)∪[8,+∞) D.(﹣∞,0)∪(4,8]
 
 
二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)
11.命题“x∈N,x2≠x”的否定是      .
 
12.在△ABC中,若BC=3,∠A= ,AC= ,则∠C的大小为      .
 
13.曲线f(x)=xsin x在点( , )处的切线方程是      .
 
14.已知函数f(x)的定义域为[1,+∞),且f(2)=f(4)=1,f′(x)是f(x)的导函数,函数y=f′(x)的图象如图所示,则不等式组 所表示的平面区域的面积是      .

 
15.以下几个命题中:其中真命题的序号为      (写出所有真命题的序号)
①设A,B为两个定点,k为非零常数,| |﹣| |=k,则动点P的轨迹为双曲线;
②平面内,到定点(2,1)的距离与到定直线3x+4y﹣10=0的距离相等的点的轨迹是抛物线;<
③双曲线 与椭圆 有相同的焦点;
④若方程2x2﹣5x+a=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率,则0<a<3.
 
 
三、解答题(共6小题,满分75分)
16.已知命题p:x0∈R,使得 成立;命题q:函数y=loga(x+1)在区间(0,+∞)上为减函数;
(1)若命题¬p为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题“p或q”为真命题,且“p且q”为假命题,求实数a的取值范围.
 
17.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且a,b,c成等比数列.
(Ⅰ)若 ,B=60°,求a,b,c的值;
(Ⅱ)求角B的取值范围.
 
18.已知椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在此椭圆上,且PF1⊥F1F2,|PF1|= ,|PF2|= .
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A,B两点,且A,B关于点M对称,求直线l的方程.
 
19.数列{an}满足a1=1且8an+1an﹣16an+1+2an+5=0(n≥1).记 .
(Ⅰ)求b1.b2.b3.b4的值;
(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn.
 
20.一个截面为抛物线形的旧河道(如图1),河口宽AB=4米,河深2米,现要将其截面改造为等腰梯形(如图2),要求河道深度不变,而且施工时只能挖土,不准向河道填土.
(1)建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧AB的标准方程;
(2)试求当截面梯形的下底(较长的底边)长为多少米时,才能使挖出的土最少?

 
21.如图,动点M到两定点A(﹣1,0)、B(2,0)构成△MAB,且∠MBA=2∠MAB,设动点M的轨迹为C.
(Ⅰ)求轨迹C的方程;
(Ⅱ)设直线y=﹣2x+m与y轴交于点P,与轨迹C相交于点Q、R,且|PQ|<|PR|,求 的取值范围.

20xx-20xx学年山东省淄博市高青县高二(上)期末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
 
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.准线为x=﹣2的抛物线的标准方程为(  )
A.y2=﹣8x B.y2=8x C.x2=8y D.x2=﹣8y
【考点】抛物线的标准方程.
【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】先根据准线求出p的值,然后可判断抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上进而可设抛物线的标准形式,将p的值代入可得答案.
【解答】解:由题意可知: =2,∴p=4且抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上
故可设抛物线的标准方程为:y2=2px
将p代入可得y2=8x
故选:B.
【点评】本题主要考查抛物线的标准方程,考查学生的计算能力.属基础题.
 
2.设x∈R,则x>e的一个必要不充分条件是(  )
A.x>1 B.x<1 C.x>3 D.x<3
【考点】必要条件.
【专题】规律型.
【分析】根据必要不充分的定义即可得到结论.
【解答】解:当x>1时,满足条件.
x<1是x>e的既不必要也不充分条件.
x>3是x>e的充分不必要条件.
x<3是x>e的既不必要也不充分条件.
故选:A.
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用定义是解决本题的关键,比较基础.
 
3.不等式ax2+bx﹣2≥0的解集为 ,则实数a,b的值为(  )
A.a=﹣8,b=﹣10 B.a=﹣1,b=9 C.a=﹣4,b=﹣9 D.a=﹣1,b=2
【考点】一元二次不等式的解法.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】由不等式ax2+bx﹣2≥0的解集为 ,可得 解出即可.
【解答】解:∵不等式ax2+bx﹣2≥0的解集为 ,

解得a=﹣4,b=﹣9.
故选:C.
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法,属于基础题.
 
4.已知函数f(x)=(x﹣3)ex,则f′(0)=(  )
A.2 B.﹣2 C.3 D. 4
【考点】导数的运算.
【专题】导数的综合应用.
【分析】根据函数的导数公式直接进行求导,然后即可求f'(0)的值.
【解答】解:∵f(x)=(x﹣3)ex,
∴f'(x)=ex+(x﹣3)ex=(x﹣2)ex,
∴f'(0)=(0﹣2)e0=﹣2,
故选:B.
【点评】本题主要考查导数的计算,要求熟练掌握常见函数的导数公式以及导数的运算法则,比较基础.
 
5.首项a1>0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=S12,则Sn取得值时n的值为(  )
A.7 B.8或9 C.8 D.10
【考点】等差数列的前n项和.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】由已知条件利用等差数列前n项和公式求出a1=﹣8d,再结合题设条件推导出Sn= ,由此利用二次函数的对称性能求出结果.
【解答】解:∵首项a1>0的等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=S12,
∴ ,
解得a1=﹣8d,
∵a1>0,
∴d<0,

= ,
∵d<0,
∴Sn是一个关于n的开口向下的抛物线,
∵S5=S12,
∴由二次函数的对称性知:
当 ,即n=8或n=9时,Sn取得值.
故选B.
【点评】本题考查等差数列的前n项和公式的应用,解题时要注意二次函数性质的合理运用,是中档题.
 
6.椭圆的两个焦点和短轴的两个端点,恰好是含60°角的菱形的四个顶点,则椭圆的离心率为(  )
A. B. C. 或 D. 或
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】分类讨论;分析法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由题意可得tan30°= ,或tan60°= ,再由a,b,c的关系和离心率公式,计算即可得到所求值.
【解答】解:由于椭圆的两个焦点和短轴两个顶点,
是一个含60°角的菱形的四个顶点,
则tan30°= ,或tan60°= ,
当 = 时,即b= c,即有a= =2c,
由e= = ;
当 = 时,即b= c,即有a= = c,
由e= = .
可得离心率为 或 .
故选:C.
【点评】本题考查椭圆的标准方程,以及简单性质的应用,运用分类讨论的思想方法是解题的关键.
 
7.等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…log3a10=(  )
A.12 B.10 C.8 D.2+log35
【考点】等比数列的性质;对数的运算性质.
【专题】计算题.
【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7,进而根据a5a6+a4a7=18,求得a5a6的值,最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3(a5a6)5答案可得.
【解答】解:∵a5a6=a4a7,
∴a5a6+a4a7=2a5a6=18
∴a5a6=9
∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3(a5a6)5=5log39=10
故选B
【点评】本题主要考查了等比数列的性质.解题的关键是灵活利用了等比中项的性质.
 
8.下列命题为真命题的是(  )
A.已知x,y∈R,则 是 的充要条件
B.当0<x≤2时,函数y=x﹣ 无值
C.a,b∈R,
D.x∈R,sinx+cosx=
【考点】特称命题.
【专题】证明题;整体思想;综合法;简易逻辑.
【分析】A利用充分条件和必要条件的定义进行判断
B利用函数的单调性进行判断
C根据基本不等式成立的条件进行判断
D根据三角函数的有界性进行判断
【解答】解:A.当x=4,y=1,满足 ,但 不成立,即 不是 的充要条件,故A错误,
B.当0<x≤2时,函数y=x﹣ 为增函数,则当x=2时,函数取得值,故B错误,
C.当a,b<0时, 不成立,故C错误,
D.sinx+cosx= sin(x+ )∈[﹣ , ],
∵ ∈[﹣ , ],∴x∈R,sinx+cosx= ,故D正确,
故选:D
【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及充分条件和必要条件,函数单调性,基本不等式以及三角函数的真假判断,知识点较多,综合性较强,但难度不大.
 
9.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若 ,且 ,则下列关系一定不成立的是(  )
A.a=c B.b=c C.2a=c D.a2+b2=c2
【考点】余弦定理.
【专题】解三角形.
【分析】利用余弦定理表示出cosA,将已知第一个等式代入求出cosA的值,确定出A度数,再利用正弦定理化简第二个等式,求出sinB的值,确定出B的度数,进而求出C的度数,确定出三角形ABC形状,即可做出判断.
【解答】解:∵b2+c2﹣a2= bc,
∴cosA= = ,
∴A=30°,
由正弦定理化简b= a,得到sinB= sinA= ,
∴B=60°或120°,
当B=60°时,C=90°,此时△ABC为直角三角形,
得到a2+b2=c2,2a=c;
当B=120°时,C=30°,此时△ABC为等腰三角形,
得到a=c,
综上,b=c不一定成立,
故选:B.
【点评】此题考查了正弦、余弦定理,以及直角三角形与等腰三角形的性质,熟练掌握定理是解本题的关键.
 
10.已知函数f(x)=(1﹣ )ex,若同时满足条件:
①x0∈(0,+∞),x0为f(x)的一个极大值点;
②x∈(8,+∞),f(x)>0.
则实数a的取值范围是(  )
A.(4,8] B.[8,+∞) C.(﹣∞,0)∪[8,+∞) D.(﹣∞,0)∪(4,8]
【考点】函数在某点取得极值的条件;利用导数求闭区间上函数的最值.
【专题】导数的综合应用.
【分析】求导数,由①得到 ;
由②x∈(8,+∞),f(x)>0,故只需f(x)在(8,+∞)上的最小值大于0即可,
分别解出不等式即可得到实数a的取值范围为4<a≤8.
【解答】解:由于 ,则 =
令f′(x)=0,则 ,
故函数f(x)在(﹣∞,x1),(x2,+∞)上递增,在(x1,x2)上递减
由于x∈(8,+∞),f(x)>0,故只需f(x)在(8,+∞)上的最小值大于0即可,
当x2>8,即 时,函数f(x)在(8,+∞)上的最小值为 ,此时无解;
当x2≤8,即 时,函数f(x)在(8,+∞)上的最小值为 ,解得a≤8.
又由x0∈(0,+∞),x0为f(x)的一个极大值点,故 解得a>4;
故实数a的取值范围为4<a≤8
故答案为 A
【点评】本题考查函数在某点取得极值的条件,属于基础题.
 
二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)
11.命题“x∈N,x2≠x”的否定是 x∈N,x2=x .
【考点】命题的否定.
【专题】简易逻辑.
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.
【解答】解:∵全称命题的否定是特称命题,
∴命题的否定是:x∈N,x2=x.
故答案为:x∈N,x2=x.
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.
 
12.在△ABC中,若BC=3,∠A= ,AC= ,则∠C的大小为   .
【考点】正弦定理.
【专题】计算题;转化思想;数形结合法;解三角形.
【分析】由已知及正弦定理可得sinB= = ,由大边对大角可得0<B< ,即可解得B的值,利用三角形内角和定理即可求C的值.
【解答】解:∵BC=3,∠A= ,AC= ,
∴由正弦定理可得:sinB= = = ,
∵AC<BC,由大边对大角可得:0<B< ,
∴B= ,
∴C=π﹣A﹣B= .
故答案为: .
【点评】本题主要考查了正弦定理,三角形内角和定理,大边对大角,正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用,求B的值是解题的关键,属于中档题.
 
13.曲线f(x)=xsin x在点( , )处的切线方程是 x﹣y=0 .
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【专题】导数的概念及应用.
【分析】求导函数,求出切线的斜率,再求出切点的坐标,可得切线方程.
【解答】解:∵f(x)=xsinx,
∴f′(x)=sinx+xcosx,
∴f′( )=1,
∵f( )= ,
∴曲线f(x)=xsin x在点( , )处的切线方程是y﹣ =x﹣ ,即x﹣y=0.
故答案为:x﹣y=0.
【点评】本题考查导数的几何意义,考查切线方程,考查学生的计算能力,属于基础题.
 
14.已知函数f(x)的定义域为[1,+∞),且f(2)=f(4)=1,f′(x)是f(x)的导函数,函数y=f′(x)的图象如图所示,则不等式组 所表示的平面区域的面积是 3 .

【考点】简单线性规划的应用.
【专题】数形结合;不等式的解法及应用.
【分析】根据函数图象,确定f(x)在[1,3)上是减函数,在[3,+∞)上是增函数,结合f(2)=f(4)=1,可得一个关于x,y的二元一次不等式组,画出满足条件的可行域,根据平面图形,由面积公式可得答案.
【解答】解:由图可知,f(x)在[1,3)上是减函数,在[3,+∞)上是增函数,
又f(2)=f(4)=1,f(2x+y)≤1,
所以2≤2x+y≤4,
从而不等式组为 ,作出可行域如图所示,
其面积为S=×2×4﹣×1×2=3.
故答案为:3

【点评】本题考查的知识点是简单线性规划的应用,函数的图象与性质,平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,然后结合有关面积公式求解.
 
15.以下几个命题中:其中真命题的序号为 ③④ (写出所有真命题的序号)
①设A,B为两个定点,k为非零常数,| |﹣| |=k,则动点P的轨迹为双曲线;
②平面内,到定点(2,1)的距离与到定直线3x+4y﹣10=0的距离相等的点的轨迹是抛物线;<
③双曲线 与椭圆 有相同的焦点;
④若方程2x2﹣5x+a=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率,则0<a<3.
【考点】曲线与方程.
【专题】综合题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】①根据双曲线的定义知①不正确;
②说明点(2,1)在直线3x+4y﹣10=0上,不满足抛物线的定义;
③双曲线的离心率大于1,椭圆的离心率小于1大于0,即可判定;
④求出双曲线的焦点与椭圆的焦点,即可判定.
【解答】解:①平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数k(k<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,当0<k<|AB|时是双曲线的一支,当k=|AB|时,表示射线,∴①不正确;
②在平面内,点(2,1)在直线3x+4y﹣10=0上,
∴到定点(2,1)的距离与到定直线3x+4y﹣10=0的距离相等的点的轨迹不是抛物线,∴②不正确;
③双曲线 与椭圆 的焦点都是(± ,0),有相同的焦点,正确;
④正确方程2x2﹣5x+a=0的可分别作为椭圆和双曲线的离心率,则 ,∴0<a<3,正确;
故答案为:③④.
【点评】本题通过命题真假的判定考查椭圆、双曲线抛物线的定义、性质和曲线的方程与方程的曲线等问题,是综合题目.
 
三、解答题(共6小题,满分75分)
16.已知命题p:x0∈R,使得 成立;命题q:函数y=loga(x+1)在区间(0,+∞)上为减函数;
(1)若命题¬p为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题“p或q”为真命题,且“p且q”为假命题,求实数a的取值范围.
【考点】复合命题的真假.
【专题】简易逻辑.
【分析】本题考查的知识点是复合命题的真假判定,解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假,再根据真值表进行判断.
【解答】解:(1)∵命题p:x0∈R,使得 成立
∴¬p:x∈R,ax2﹣2x﹣1≤0成立
∴①a≥0时 ax2﹣2x﹣1≤0不恒成立
②由 得a≤﹣1
(2)∵命题q:函数y=loga(x+1)在区间(0,+∞)上为减函数
∴命题q为真,实数a的取值范围是:0<a<1
∵命题“p或q”为真,且“p且q”为假,
∴命题p、q一真一假
①当p真q假时,则 ,得实数a的取值范围,﹣1<a≤0或a≥1
②当p假q真时,则 ,实数a的取值范围:无解
∴实数a的取值范围是﹣1<a≤0或a≥1
【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定,属于基础题目
 
17.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且a,b,c成等比数列.
(Ⅰ)若 ,B=60°,求a,b,c的值;
(Ⅱ)求角B的取值范围.
【考点】等比数列的性质;余弦定理.
【专题】综合题;等差数列与等比数列;解三角形.
【分析】(Ⅰ)利用等比数列的性质,可得b2=ac,再结合余弦定理,即可求a,b,c的值;
(Ⅱ)利用余弦定理,结合基本不等式,即可求角B的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)∵a,b,c成等比数列,
∴b2=ac﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)
∵B=60°
∴ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)
联立方程组 ,
解得 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)
(Ⅱ) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)
∵a2+c2≥2ac,∴ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)
∴0°<B≤60°﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)
【点评】本题考查等比数列的性质,考查余弦定理的运用,考查基本不等式,考查学生的计算能力,正确运用余弦定理是关键.
 
18.已知椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在此椭圆上,且PF1⊥F1F2,|PF1|= ,|PF2|= .
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A,B两点,且A,B关于点M对称,求直线l的方程.
【考点】椭圆的应用.
【专题】综合题;压轴题.
【分析】解:(Ⅰ)由题意可知2a=|PF1|+|PF2|=6,a=3, ,由此可求出椭圆C的方程.
(Ⅱ)解法一:设A,B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).设直线l的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆C的方程得(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k﹣27=0.因为A,B关于点M对称.所以 .解得 ,由此可求出直线l的方程.
(Ⅱ)解法二:设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意x1≠x2且 ,① ,②
由①﹣②得 .③因为A、B关于点M对称,所以x1+x2=﹣4,y1+y2=2,代入③得直线l的斜率为 ,由此可求出直线l的方程.
【解答】解:(Ⅰ)因为点P在椭圆C上,所以2a=|PF1|+|PF2|=6,a=3.
在Rt△PF1F2中, ,
故椭圆的半焦距c= ,
从而b2=a2﹣c2=4,
所以椭圆C的方程为 =1.
(Ⅱ)解法一:
设A,B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).
已知圆的方程为(x+2)2+(y﹣1)2=5,
所以圆心M的坐标为(﹣2,1).
从而可设直线l的方程为
y=k(x+2)+1,
代入椭圆C的方程得
(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k﹣27=0.
因为A,B关于点M对称.
所以 .
解得 ,
所以直线l的方程为 ,
即8x﹣9y+25=0.
(经检验,所求直线方程符合题意)
(Ⅱ)解法二:
已知圆的方程为(x+2)2+(y﹣1)2=5,
所以圆心M的坐标为(﹣2,1).
设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
由题意x1≠x2且 ,① ,②
由①﹣②得 .③
因为A、B关于点M对称,
所以x1+x2=﹣4,y1+y2=2,
代入③得 = ,
即直线l的斜率为 ,
所以直线l的方程为y﹣1= (x+2),
即8x﹣9y+25=0.
(经检验,所求直线方程符合题意.)
【点评】本题综合考查直线和圆、椭圆的位置关系,解题时要认真审题,仔细解题,避免错误.
 
19.数列{an}满足a1=1且8an+1an﹣16an+1+2an+5=0(n≥1).记 .
(Ⅰ)求b1.b2.b3.b4的值;
(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn.
【考点】数列的求和;数列递推式.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】(法一)(I)由a1结合递推公式可求a2,a3,a4,代入 求b1,b2,b3,b4
(II)先由(I)中求出的b1,b2,b3,b4的值,观察规律可猜想数列 为等比数列,进而可求bn,结合 ,从而猜想得以证明,代入求出anbn,进而求出前n和sn
(法二)(I) 代入递推公式可得 ,代入可求b1,b2,b3,b4
(II)利用(I)中的递推关系个构造数列 为等比数列,从而可求bn,sn
(法三)(I)同法一
(II)先由(I)中求出的b1,b2,b3,b4的值,观察规律可猜想数列bn+1﹣bn为等比数列,仿照法一再证明猜想,根据求通项的方法求bn,进一步求sn
【解答】解:法一:
(I)a1=1,故 ; ,
故 ; ,
故 ; ,
故 .
(II)因 ,
故猜想 是首项为 ,公比q=2的等比数列.
因an≠2,(否则将an=2代入递推公式会导致矛盾)故 .
因 ,

故 确是公比为q=2的等比数列.
因 ,故 , ,
由 得 ,
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn= = =
法二:
(Ⅰ)由 得 ,代入递推关系8an+1an﹣16an+1+2an+5=0,
整理得 ,即 ,
由a1=1,有b1=2,所以 .
(Ⅱ)由 ,
所以 是首项为 ,公比q=2的等比数列,
故 ,即 .
由 ,得 ,
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn= = = .
法三:
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ) 猜想{bn+1﹣bn}是首项为 ,
公比q=2的等比数列,
又因an≠2,故 .
因此 =

= .
因 是公比q=2的等比数列, ,
从而bn=(bn﹣bn﹣1)+(bn﹣1﹣bn﹣2)+…+(b2﹣b1)+b1=
=
= .
由 得 ,
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn= = = .
【点评】本题考查了数列的综合运用:递推关系的运用,构造等比求数列通项,累加求通项,归纳推理的运用,综合考查了考生的推理运算能力.
 
20.一个截面为抛物线形的旧河道(如图1),河口宽AB=4米,河深2米,现要将其截面改造为等腰梯形(如图2),要求河道深度不变,而且施工时只能挖土,不准向河道填土.
(1)建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧AB的标准方程;
(2)试求当截面梯形的下底(较长的底边)长为多少米时,才能使挖出的土最少?

【考点】抛物线的应用.
【专题】应用题.
【分析】(1)以抛物线的顶点为原点,AB中垂线为y轴建立直角坐标系,一依题意可知A,B的坐标,设出抛物线的方程,把点B代入求得p,进而可求得抛物线的方程.
(2)设等腰梯形的腰与抛物线相切于P,则可利用导函数求得P的切线的斜率,表示直线l的方程,分别令y=0和2求得x,利用梯形面积求得面积的表达式,利用基本不等式求得三角形面积的小值.
【解答】解:(1)如图:以抛物线的顶点为原点,AB中垂线为y轴建立直角坐标系
则A(﹣2,2),B(2,2)
设抛物线的方程为x2=2Py(P>0),
将点B(2,2)代入得P=1
所以抛物线弧AB方程为x2=2y(﹣2≤x≤2)
(2)设等腰梯形的腰与抛物线相切于 ,(不妨t>0)
则过 的切线l的斜率为y′|x=t=t
所以切线l的方程为: ,即
令y=0,得 ,
令y=2,得 ,
所以梯形面积
当仅当 ,即 时,“=”成立
此时下底边长为
答:当梯形的下底边长等于 米时,挖出的土最少.

【点评】考查待定系数法求曲线方程的知识;考查直线方程的知识;考查由函数导数或判别式法求曲线切线的知识;考查应用函数单调性或不等式求函数最值的知识;考查选择恰当参数建立数学式子研究几何图形的解析几何思维;考查根据实际选择数学模型的能力(即数学建模能力).
 
21.如图,动点M到两定点A(﹣1,0)、B(2,0)构成△MAB,且∠MBA=2∠MAB,设动点M的轨迹为C.
(Ⅰ)求轨迹C的方程;
(Ⅱ)设直线y=﹣2x+m与y轴交于点P,与轨迹C相交于点Q、R,且|PQ|<|PR|,求 的取值范围.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;圆锥曲线的轨迹问题.
【专题】综合题;压轴题.
【分析】(Ⅰ)设出点M(x,y),分类讨论,根据∠MBA=2∠MAB,利用正切函数公式,建立方程化简即可得到点M的轨迹方程;
(Ⅱ)直线y=﹣2x+m与3x2﹣y2﹣3=0(x>1)联立,消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①,利用①有两根且均在(1,+∞)内
可知,m>1,m≠2设Q,R的坐标,求出xR,xQ,利用 ,即可确定 的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)设M的坐标为(x,y),显然有x>0,且y≠0
当∠MBA=90°时,点M的坐标为(2,±3)
当∠MBA≠90°时,x≠2,由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA= ,
化简可得3x2﹣y2﹣3=0
而点(2,±3)在曲线3x2﹣y2﹣3=0上
综上可知,轨迹C的方程为3x2﹣y2﹣3=0(x>1);
(Ⅱ)直线y=﹣2x+m与3x2﹣y2﹣3=0(x>1)联立,消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①
∴①有两根且均在(1,+∞)内
设f(x)=x2﹣4mx+m2+3,∴ ,∴m>1,m≠2
设Q,R的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),
∵|PQ|<|PR|,∴xR=2m+ ,xQ=2m﹣ ,
∴ = =
∵m>1,且m≠2
∴ ,且
∴ ,且
∴ 的取值范围是(1,7)∪(7,7+4 )
【点评】本题以角的关系为载体,考查直线、双曲线、轨迹方程的求解,考查思维能力,运算能力,考查思维的严谨性,解题的关键是确定参数的范围.

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